親の借金だけ相続放棄できますか？

できません。

相続放棄は、被相続人の相続財産すべてを放棄する手続きです。

つきましては、マイナスの財産（借金など）はもちろんのこと、プラスの財産（不動産や預貯金等）も放棄することになります。
相続放棄をすることによって、法的に相続人ではないとみなされるので、相続財産を相続することはできなくなります。

借金だけ相続放棄したい気持ちはわかりますが、相続放棄ではそれはできません。

なお、遺産分割協議による相続では、借金だけ放棄するような形を実現することができます。
但し、それは債権者には主張できないので注意が必要です。

詳しくは『相続放棄と遺産分割協議の比較』をご覧ください。